doc/manual/colour.tex

   1 \documentclass{article}
   2 \usepackage{url,amsmath,mathtools}
   3 \usepackage[landscape]{geometry}
   4 \title{Colour conversions for DCP creation}
   5 \author{Carl Hetherington, Dennis Couzin}
   6 \date{}
   7 \begin{document}
   8 \maketitle
   9
  10 \section{Overview}
  11
  12 The process of conversion from RGB to XYZ is:
  13
  14 \begin{enumerate}
  15 \item Convert to linear RGB (i.e.\ apply a gamma curve, or at least an approximation to one).
  16 \item Convert to XYZ (preserving the white point).
  17 \item Adjust the white point.
  18 \item Normalize values.
  19 \item Convert to non-linear XYZ (i.e.\ apply a gamma curve)
  20 \end{enumerate}
  21
  22
  23 \section{Convert to linear RGB}
  24
  25 This is done using either a `pure' gamma function, so that for some colour value $C_i$ the output colour $C_o$ is given by
  26
  27 \begin{align}
  28 C_o &= C_i ^ \gamma
  29 \end{align}
  30
  31 or a modified function of the form
  32
  33 \begin{align}
  34 C_o &= \left\{
  35 \begin{array}{ll}
  36 \frac{C_i}{K} & C_i \leq C_t \\
  37 \left( \frac{C_i + A}{1 + A} \right)^\zeta & C_i > C_t
  38 \end{array}
  39 \right.
  40 \end{align}
  41
  42 where $K$, $A$, $C_t$ and $\zeta$ are constants.  This modified function approximates a `pure' gamma function but changes the output for small inputs.
  43
  44
  45 \section{Convert to XYZ}
  46
  47 This is done by multiplying the colours by a $3\times{}3$ matrix.
  48 This matrix depends on the chromaticities of the RGB primaries and the
  49 white point.  Note that these are the same for BT709 and sRGB, so the
  50 corresponding matrices are the same.
  51
  52 The chromaticities for sRGB and BT709 are shown in
  53 Table~\ref{tab:chromaticities}.  The white point is ($x = 0.3127$, $y
  54 = 0.329$); this is called D65.
  55
  56 \begin{table}[ht]
  57 \begin{center}
  58 \begin{tabular}{|l|l|l|}
  59 \hline
  60 & $x$ & $y$ \\
  61 \hline
  62 Red & 0.64 & 0.33 \\
  63 \hline
  64 Green & 0.3 & 0.6 \\
  65 \hline
  66 Blue & 0.15 & 0.06 \\
  67 \hline
  68 \end{tabular}
  69 \end{center}
  70 \caption{RGB chromaticities for sRGB and BT709}
  71 \label{tab:chromaticities}
  72 \end{table}
  73
  74 Let
  75
  76 \begin{align}
  77 D &= \left|\begin{matrix} R_x - W_x & W_x - B_x \\ R_y - W_y & W_y - B_y \end{matrix} \right| \\
  78 E &= \left|\begin{matrix} W_x - G_x & R_x - W_x \\ W_y - G_y & R_y - W_y \end{matrix} \right| \\
  79 F &= \left|\begin{matrix} W_x - G_x & W_x - B_x \\ W_y - G_y & W_y - B_y \end{matrix} \right| \\
  80 P &= R_y + G_y \frac{D}{F} + B_y \frac{E}{F}
  81 \end{align}
  82
  83 where:
  84
  85 \begin{itemize}
  86 \item $R_x$, $R_y$: red point; $R_z = 1 - R_x - R_y$
  87 \item $G_x$, $G_y$: green point; $G_z = 1 - G_x - G_y$
  88 \item $B_x$, $B_y$: blue point; $B_z = 1 - B_x - B_y$
  89 \item $W_x$, $W_y$: white point
  90 \end{itemize}
  91
  92 Then the conversion matrix $\mathbf{C}$ is as follows:
  93
  94 \begin{align}
  95 \mathbf{C} &= \frac{1}{P} \left[\begin{matrix}
  96 R_x & G_x\dfrac{D}{F} & B_x\dfrac{E}{F} \\[2ex]
  97 R_y & G_y\dfrac{D}{F} & B_y\dfrac{E}{F} \\[2ex]
  98 R_z & G_z\dfrac{D}{F} & B_z\dfrac{E}{F} \\[2ex]
  99 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
 100 0.4123908 & 0.3575843 & 0.1804808 \\
 101 0.2126390 & 0.7151687 & 0.0721923 \\
 102 0.0193308 & 0.1191948 & 0.9505322 \\
 103 \end{matrix}\right]
 104 \end{align}
 105
 106 Then to convert RGB to XYZ we do
 107
 108 \begin{align}
 109 \left[\begin{matrix} X \\ Y \\ Z \\ \end{matrix}\right] &= \mathbf{C} \left[\begin{matrix} R \\ G \\ B \\ \end{matrix}\right]
 110 \intertext{i.e.}
 111 \left[\begin{matrix} X \\ Y \\ Z \\ \end{matrix}\right] &= \left[\begin{matrix}
 112 0.4123908 & 0.3575843 & 0.1804808 \\
 113 0.2126390 & 0.7151687 & 0.0721923 \\
 114 0.0193308 & 0.1191948 & 0.9505322 \\
 115 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} R \\ G \\ B \\ \end{matrix}\right]
 116 \end{align}
 117
 118 Note: there is also a CIE definition of the D65 white point as ($x =
 119 0.31272$, $y = 0.32903$), which we do not use.
 120
 121
 122 \section{Adjust the white point}
 123
 124 If required we can adjust the white point of the colours from one
 125 white point $\mathbf{S_1}$ to another $\mathbf{S_2}$.  This is done by multiplication by
 126 a Bradford matrix, $\mathbf{B}$.  To calculate it, we start with the
 127 Bradford chromatic adaption transform matrix $\mathbf{M}$, taken from
 128 S\"usstrunk et al., \textit{Chromatic adaption performance of
 129   different RGB sensors}, IS\&T/SPIE Electronic Imaging, SPIE
 130 Vol.\ 4300 (2001).
 131
 132 \begin{align}
 133 \mathbf{M} &= \left[\begin{matrix}
 134 0.8951 & 0.2664 & -0.1614 \\
 135 -0.7502 & 1.7135 & 0.0367 \\
 136 0.0389 & -0.0685 & 1.0296 \\
 137 \end{matrix}\right]
 138 \end{align}
 139
 140 The inverse of $\mathbf{M}$ is
 141 \begin{align}
 142 \mathbf{M}^{-1} &= \left[\begin{matrix}
 143 0.9869929055 & -0.1470542564 & 0.1599626517 \\
 144 0.4323052697 & 0.5183602715 & 0.0492912282 \\
 145 -0.0085286646 & 0.0400428217 & 0.9684866958 \\
 146 \end{matrix}\right]
 147 \end{align}
 148
 149 Next, compute $\mathbf{G}$ and $\mathbf{H}$ as follows
 150
 151 \begin{align}
 152 \mathbf{G} &= \mathbf{M} \left[\begin{matrix} \dfrac{S_{1x}}{S_{1y}} \\[2ex] 1 \\ \dfrac{1 - S_{1x} - S_{1y}}{S_{1y}} \\[2ex] \end{matrix}\right] \\
 153 \mathbf{H} &= \mathbf{M} \left[\begin{matrix} \dfrac{S_{2x}}{S_{2y}} \\[2ex] 1 \\ \dfrac{1 - S_{2x} - S_{2y}}{S_{2y}} \\[2ex] \end{matrix}\right]
 154 \end{align}
 155
 156 Then the Bradford matrix $\mathbf{B}$ is given by
 157
 158 \begin{align}
 159 \mathbf{B} &= \mathbf{M}^{-1}
 160 \left(\left[\begin{matrix} \dfrac{H_1}{G_1} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{H_2}{G_2} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{H_3}{G_3} \\ \end{matrix}\right] \mathbf{M}\right) \\
 161 \end{align}
 162
 163
 164 \section{Normalize values}
 165
 166 Here we just multiply all colour values by the constant $N$ where
 167
 168 \begin{align}
 169 N &= \frac{48}{52.37}
 170 \end{align}
 171
 172
 173 \section{Convert to non-linear XYZ}
 174
 175 This is a gamma correction of $1/2.6$, so that for some colour value $C_i$ the output colour $C_o$ is given by
 176
 177 \begin{align}
 178 C_o &= C_i ^ {1/2.6}
 179 \end{align}
 180
 181
 182 \section{Converting from a colour matrix to chromaticities}
 183
 184 To get back from a colour matrix $\mathbf{C}$ to the chromaticities:
 185
 186 \begin{align}
 187 R_x &= \frac{C_{11}}{C_{11} + C_{21} + C_{31}} \\
 188 R_y &= \frac{C_{21}}{C_{11} + C_{21} + C_{31}} \\
 189 G_x &= \frac{C_{12}}{C_{12} + C_{22} + C_{32}} \\
 190 G_y &= \frac{C_{22}}{C_{12} + C_{22} + C_{32}} \\
 191 B_x &= \frac{C_{13}}{C_{13} + C_{23} + C_{33}} \\
 192 B_y &= \frac{C_{23}}{C_{13} + C_{23} + C_{33}} \\
 193 W_x &= \frac{C_{11} + C_{12} + C_{13}}{C_{11} + C_{12} + C_{13} + C_{21} + C_{22} + C_{23} + C_{31} + C_{32} + C_{33}} \\
 194 W_y &= \frac{C_{21} + C_{22} + C_{23}}{C_{11} + C_{12} + C_{13} + C_{21} + C_{22} + C_{23} + C_{31} + C_{32} + C_{33}}
 195 \end{align}
 196
 197 \end{document}